小乐数学科普：数学纹身墨水方程——译自HLF海德堡桂冠论坛博客（纹身墨水和普通墨水有什么区别）

作者：Benjamin Skuse 2024-10-9

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-10-10

数学家经常谈论方程之美，不仅在于它们能够简洁地表达复杂的关系和思想，还因为从纯粹的视觉角度来看它们也很美。以欧拉恒等式为例：e^{iπ}+1=0 。它具有美学上的简单和优雅，同时也强调了基础数学运算和数字之间的深层联系。三种运算（加法、乘法和取幂）与五个最重要和基本的数学常数（0、1、e、i 、π）粘合在一起。这些常数在表面上看来本不应在同一方程中相互交织。

当然，即使有这些令人信服的论据，欧拉恒等式是否优美也纯粹是主观的。俗话说，情人眼里出西施。因此，当有人决定纹身时，这通常是他们对美的看法的高度个性化表达。

对于来自美国的应用数学家和计算机科学家、同时也是一位非常有成就的音乐家、年轻研究员Leo Liang来说，他最大的纹身是他对音乐的热爱的本质抽象表现。“我喜欢那种纯粹独立存在的音乐；它没有潜在的歌词，或者我认为，它并没有某种意义，”他作为一名年轻研究员参加了第 11 届海德堡桂冠论坛HLF，在我们交谈时他这样讲道。“这确实激发了我的纹身：它不一定有任何意义，而我只是因为它本身的样子喜欢它。”

Leo Liang的抽象纹身

图源：HLFF / Skuse

重要的纹身

牛津大学和剑桥大学的数学家、数学倡导者和传播者、第 11 届 HLF 的主持人汤姆·克劳福德（Tom Crawford）对纹身艺术家的针头也不陌生。他身上分布着大约 120 个纹身（大部分是来自 Tattoo Crazy Cambridge 的 @Nat_Von_B），其中许多纹身都是以数学为主题的。不出所料，欧拉恒等式也出现在他的纹身中，而其他一些重要而广为人知的方程式也在其中，包括电磁学的麦克斯韦方程、量子力学的海森堡不确定性原理以及代表流体流动的纳维-斯托克斯方程。

但还有另一个你可能不太熟悉的方程式，这是克劳福德的第一个数学主题纹身，并自豪地纹在他的前臂内侧：

“我的博士考试评委在我的答辩中称这个为天才之作，但我甚至没有意识到这是我的论文的主要结果，”克劳福德回忆道。他做的研究是研究河流流入海洋的情况，最终目的是改善河流系统污染扩散的模型。在他的研究中，他进行了实验，观察水在一个大型实验室水箱中的行为，并观察到河口附近有一个类似于旋转涡流的现象，以及沿着海岸传播的边界流。

最重要的是，因为他的实验可以比实际河流中的实验持续更长的时间尺度，他观察到水流的深度并不是之前认为的恒定常数。这意味着需要重写标准的位势涡度方程，该方程将河流流出物的涡度（标记为α的漩涡状旋转）与其深度（标记为H）联系起来，以考虑时间独立性。“本来我没打算纹这个特定的纹身，直到答辩。它纪念了或者说代表了我的研究。”

克劳福德随时间变化的位涡方程

图源：HLFF / Skuse

巴塞尔问题的艺术展现

他的其他一些数学主题纹身不再是简单的方程式。也许最有趣的、克劳福德个人最喜欢的数学主题纹身是他另一只前臂周围的一系列带子，这些带子是巴塞尔（或巴斯勒）问题的可视化。

巴塞尔问题于1644 年由意大利数学家兼牧师Pietro Mengoli（1626 – 1686）首次提出，可以表述如下：求出无穷数列之和

由于上面这个数列收敛速度极其缓慢，因此找到精确解困扰着当时最伟大的思想家，包括伯努利兄弟、克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach，1690 – 1764）和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 – 1716）。莱昂哈德·欧拉（Leonard Euler，1707 – 1783）终于在1735年解决了这个问题。“答案是 π²/6 ；我可以用 12 种不同的方式证明这一点，但这没有意义，”克劳福德说。“ 式子中的π 来自哪儿？这确实是最令人意想不到的——我非常喜欢这个结果。”

为了通过纹身可视化这一点，克劳福德手腕上的一条粗的初始带子代表零，而他手臂上方约 10 厘米的另一根带子代表 1。然后，带子的距离和厚度都会根据以下公式逐渐缩小：1/x² ，直到它们太薄而无法纹身。该点上方不远处是一条虚线，代表永远无法达到的数列和的极限，即 π²/6 。