我们知道，经典粒子携带着物理量，如位置、动量和能量。当这个粒子在空间中运动并与物体相互作用时，这些物理量会随着时间连续变化。因此，得出的结论是什么？首先，经典物理量是单值的，也就是说它们在任何一个时刻只能取一个值。例如，一个粒子不可能同时处于两个地方，也不可能有两个不同的速度。其次，物理量是连续的，意味着它们随着时间的推移平滑地变化，不会突然变化。
鉴于这两个观察结果，似乎很明显我们应该用一个连续函数来建模这些物理量。根据定义，一个函数在任何时刻只能取一个值，而且连续函数没有突然的跳跃。因此，这就是为什么在经典物理中，我们用连续函数来表示物理量！这看起来似乎有点显而易见。我们还能用什么呢？为了看看这种模型何时失效，让我们分析一个真实的物理系统，并比较经典物理与量子物理的表现。特别地，我们来关注氢原子，它由一个围绕质子运动的电子组成。让我们看看在经典物理框架中，我们期望会发生什么。随着电子围绕质子运动，它会以光的形式释放能量。这是电磁学中的一个著名事实。
通过测量释放的光的能量，我们可以测量出电子剩余的能量（以电子伏特为单位）。因此，我们可以设置一个探测器并进行测量。电子的能量显示在左边（以电子伏特为单位），而且根据经典物理的要求，它是单值的且连续的。
现在让我们进入量子世界，获取一个实际的氢原子和探测器，看看会发生什么。我们会发现探测器只检测到少量的能量值，测量结果是离散的。
重新进行实验时，虽然能量值与上次有所不同，但仍是离散的。我们多次重复实验后得出两个结论：第一，物理量有时是离散的，不会取中间值；第二，测量结果是随机的，但某些值的概率比其他值更高。这与物理量必须是连续且单值的观点相矛盾。
显然，连续函数无法用于量子世界的建模。那么，我们该用什么呢？这似乎是个棘手的问题，但我们可以戴上理论物理学家的帽子，看看能从这些结论中推导出什么。
首先，我们需要找到一种数学方法来建模随机性问题。看起来在测量之前，粒子包含了我们可能获得的每一个结果的信息。那么，我们如何数学地表示这一现象呢？
假设我们确定粒子的能量是E=A，用数学对象 M_A 来表示粒子。M可以是任何东，如函数、环的一个元素、流形等——只是我们尚未确定的某种数学对象。如果粒子的能量是 B，则用 M_B 来表示，以此类推。
因此，每一个可能的结果都有一个对应的数学对象 M。粒子似乎在测量之前是所有这些数学对象的集合，表示所有可能的结果。那么，我们需要找到一种方法将这些数学对象组合起来。我们可以使用未知的“点符号”来将这些数学对象合并成一个描述粒子的整体对象。
接下来，我们需要给每个数学对象附加一个概率值，来表示获得该结果的可能性。最简单的方法就是在每个数学对象前面加一个数字，代表这个可能性。
现在，让我们退一步，看看目前的成果。回顾你之前学过的一些数学结构，希望你会开始意识到这看起来很像某种线性组合。你看出来了吗？粒子是所有可能结果的一种线性组合，假设这些结果由某种向量表示。
我们继续讨论离散性问题。这涉及到如何表示离散的物理量。已经知道函数不适用；我们需要一种数学对象，能够在特定情况下返回一组离散的结果或数值，而不是连续变化的数值。这有点难，但如果沿着线性组合的线索推测，或许线性算子，也就是矩阵，能够表示物理量。
毕竟，矩阵由一组离散的数值组成，所以或许我们可以从这个离散集合中提取出物理量。
我们现在有了一个非常可靠的猜测，关于如何建模量子力学！粒子可以表示为某个向量空间中的向量的线性组合，物理量可以表示为该空间中的线性算子。
我们在几分钟内发展出了量子力学的框架，而世界上最伟大的物理学家们花了多年才得出这些结论。重要的是你明白为什么线性代数是量子力学的一个好的起点。
当然，还有很多问题没有解答。比如粒子如何是一个向量？不同的概率是如何计算的？粒子是如何随时间演化的？后面我们将继续讨论。