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编者按：在19世纪里，代数几何主要的研究对象是代数曲线，到了20世纪，数学家们转向了对代数曲面和高维代数簇的研究，人们开始运用抽象代数、整体微分几何、分析学和拓扑学的方法来精确地描述代数簇的各种几何性质。初学者在学习代数几何的时候，会发现所需要的预备知识非常多，代数几何的教科书似乎也没有一个统一的课程体系，因为有很多看上去完全不同的入门教材。是什么原因造成今天这样的局面？《数学译林》上的一篇文章有助于回答这个问题，它就是刊载于1990年（第9卷）第3期上的文章“代数几何”，作者是日本数学家浪川幸彦。正如这篇文章所指出的那样，代数几何按照几何、分析（后来延伸到复几何方法）、代数的研究方法可以分为古典代数几何，复解析几何、抽象代数几何这三个流派，这种状况的存在实际上将代数几何扩展为了一个庞大的领域，其中包含的分支学科迅速增加，但同时也导致了初学者入门的困境（当然在许多教师的认真努力下，现在已经有了一些很好的代数几何入门教科书）。“代数几何”这篇文章出现的背景是1990年在日本京都召开的国际数学家大会（简称ICM）的前夕，它的目的是向日本的数学界介绍代数几何在当时的发展现状。在那次大会上，日本数学家森重文因为对三维代数簇和极小模型纲领的系列研究而获得了菲尔兹奖，这也是这篇文章的结尾处所预告的。跟别的数学领域不同，这篇文章的作者还特别把代数几何称为了“成年人的学问”，这就告诉我们：需要相当多的学习与研究的积累才能够理解代数几何这门学问的意义。另外，因为本文的翻译较早，其中的“数论代数几何”现在译为了“算术代数几何（即算术几何）”，“概型”译为“概形”，“解析学”译为“分析学”，“解析方法”译为“分析方法”，“函数分析”译为“泛函分析”，而“小平”就是指著名数学家小平邦彦。
图1：Kirwan写的大学本科生代数几何教材《Complex Algebraic Curves（复代数曲线）》，该书在本科生所学过的抽象代数、拓扑学、复变函数等基础课程的基础上，讲述了平面复代数曲线的代数、拓扑和分析性质，并且还证明了很基本的三次曲线的阿贝尔定理和平面代数曲线的黎曼－罗赫定理，初步展现了代数几何这门学问中非常独特的思想方法（例如除子（divisor）概念所起的作用）。这本书写得非常仔细，证明的各种细节也交代得很清楚，对初学者十分友好。有点遗憾的是，这本写得非常好的英文影印书书名的中文翻译却错了一个字：其中的“面”应该改为“线”，这是因为在代数几何领域内，代数曲线与代数曲面是两个不同的分支学科。实际上，“复代数曲面”是下面的一本英文书《Complex Algebraic Surfaces》书名的中文翻译
图2：Beauville写的《Complex Algebraic Surfaces（复代数曲面）》，该书也是一本备受好评的书，它在不大的篇幅内集中展示了代数几何中最常用的基本概念和方法，只是它的预备知识要比上面这本讲代数曲线的书来得多，因此比较适合研究生程度的读者来阅读
图3：Nerode等人写的本科生代数几何教材《Algebraic Curves and Riemann Surfaces for Undergraduates：The Theory of the Donut（适用于本科生的代数曲线和黎曼曲面：甜甜圈的理论）》，该书写得非常仔细，浅显易懂
图4：Smith写的代数几何初等教材《Introduction to Algebraic Geometry（代数几何引论）》
图5：Smith写的《Introduction to Algebraic Geometry（代数几何引论）》的封底，其中说这本书面向研究生和高年级本科生，既可以用于自学，也可用作教材。它不仅讲述了古典的代数几何，而且讲了概形，并且最终用现代严格的方法证明了黎曼－罗赫定理。该书的预备知识只是点集拓扑和较好的线性代数基础，它还通过附录的方式（占到全书一半的篇幅），给出了理解全书所需要的关于交换代数、层论和上同调的所有基础知识
图6：Beltrametti等人用19世纪的古典代数几何方法写的入门课本《Lectures on Curves、Surfaces and Projective Varieties：A Classical View of Algebraic Geometry（（代数）曲线、（代数）曲面和射影簇讲义：代数几何的古典观点）》，它补充了代数几何的现代课本中往往缺失的直观几何背景与思想来源
图7：代数几何学家Griffiths等人用复几何方法写的经典名著《Principles of Algebraic Geometry（代数几何原理）》，其中开头的一章写得非常浓缩，包含了理解全书所需要的多复变函数、复流形、层和上同调、代数拓扑、整体微分几何、霍奇理论和凯勒流形等方面最基础的预备知识，然后在接下来的几章中，作者运用这些知识将历史上的古典代数几何重新表述成了复几何语言下的代数几何
图8：代数几何学家哈茨霍恩（R. Hartshorne）用抽象代数几何方法写的经典名著《Algebraic Geometry（代数几何）》（该书可以看成是格罗滕迪克著名的8卷《代数几何学原理》的一个浓缩简写本），它用概形及其上同调的方法，将复几何方法写的代数几何进一步推广到了抽象代数几何。抽象代数几何为半个世纪以来代数几何与现代数论的大发展奠定了完整的理论基础，同时也深刻影响着其他数学领域的发展。这种不断进行推广的过程成为了创造20世纪新数学的典范
图9：Kriz等人用抽象代数几何方法写的《Introduction to Algebraic Geometry（代数几何引论）》。与哈茨霍恩在1977年所写的上述经典名著《Algebraic Geometry（代数几何）》不同的是，这本在2021年刚出版的书包含了许多新的内容，例如有关于平展（Étale）上同调和主题（Motivic）上同调等内容的介绍。
图10：日本的书店里代数几何方面的书籍（一）
图11：日本的书店里代数几何方面的书籍（二）