混沌理论自20世纪60年代初提出以来，已经取得了长足的进步，它的影响范围远远超出了人们最初的想象，涵盖了数学、科学甚至文科等各个领域。混沌理论的核心是基于未知因素的不可预测性概念。奇怪的是，直到 20世纪才发现这个概念，但在此之前，数学家们认为任何未知因素都只是一个尚未解决的问题。为了真正理解混沌理论，我们必须首先从现代物理学的开端开始，即爱德华·洛伦兹发现蝴蝶效应的几个世纪之前。
勒内·笛卡尔的因果关系原理，即每个原因都会产生结果，是现代物理学的基础，于1641 年首次提出。尽管因果关系原理可以看作是现代科学的基础，但艾萨克·牛顿的运动定律是建立在这一原理之上的，并被认为是现代科学的开创者。1770 年，法国哲学家霍尔巴赫首次提出了决定论，即如何轻松地找到特定原因的结果 。1778 年，数学家兼天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯利用霍尔巴赫的决定论思想和牛顿的运动定律，将行星研究简化为一个方程 。这一行动导致1884 年 Urbain Jean Joseph Le Verrier 发现了海王星。
科学和数学沿着这条扩展因果关系的道路继续发展了很多年，直到 19 世纪才出现了一种新的观点。数学家和物理学家 Henri Poincaré 首次就这种思维方式对科学界提出了质疑。Poincaré 的理论是，在系统中引入一个小的变化会使系统的行为从可预测变为混乱。
一个我们无法察觉的微小原因决定了我们无法忽视的显著影响，因此我们说这种影响是偶然的……初始条件的微小差异可能会导致最终现象的巨大差异。前者的一个小错误会导致后者的巨大错误。预测变得不可能，我们得到的是随机现象。
安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫利用KAM定理将这一思想引回到数学和科学的因果概念。KAM定理用于反向研究“随机现象”，以找到使系统偏离其原始轨道的初始变化。借助 KAM 定理，科学家可以研究现象并帮助预测未来现象。尽管庞加莱是第一个提出混沌模式的人，但直到爱德华·洛伦兹发现混沌理论，科学和数学中真正混沌的一面才出现。
爱德华·洛伦兹出生于 1 917 年，在获得达特茅斯学院和哈佛大学学位后，开始了他的数学学术生涯。二战期间，他在军队服役时转向气象学。战后，他开始在麻省理工学院进行研究，获得气象学硕士和博士学位。20 世纪 60 年代初，在研究天气模式时，洛伦兹偶然发现了今天被称为混沌理论的东西。
1961 年，洛伦兹正在研究一组特定的天气条件，当时他决定通过将计算机给他的数字输入程序来重新计算其中一种条件。洛伦兹在输入数字时略微四舍五入，得到的结果与之前大不相同。洛伦兹和他那个时代的许多数学家都认为，在计算的早期犯一个小错误或改变会导致结果略有不同。他期望看到的微小变化是因为他为了重新运行测试而输入的数字略有不同，但事实是，他得到的结果与第一次大不相同。他发现，每次输入数字的微小变化时，他都会面临一个极其不同且不可预测的结果，从而首次正式发现混沌理论。
混沌理论指出，即使是最小的变化也会对最终结果产生重大影响。菲利普·梅里利斯创造了一个著名的流行短语：“巴西蝴蝶翅膀的扇动会引发德克萨斯州的龙卷风吗？”梅里利斯用这个问题来宣传洛伦兹在 1972 年的一次会议上的演讲，他在会上介绍了他的初步发现。此后，该短语出现了很多变体，但都指向同一个概念，即蝴蝶扇动翅膀就能改变天气，并正式将这一概念命名为蝴蝶效应。蝴蝶效应一直是混沌理论的唯一名称，直到1975 年，数学家詹姆斯·A·约克将其重新命名为混沌理论，他认为这个名称更好地涵盖了混沌理论的全部效应，而不仅仅是天气的不可预测性。
就像庞加莱首次提出不可预测性概念时一样，并非所有科学家和数学家都认可洛伦兹的混沌理论。他们仍然相信可预测性的“突然”变化并不是那么突然，可以分解，从而真正预测。基于这种信念，法国拓扑学家勒内·托姆 撰写了突变理论。突变理论与混沌理论类似，它描述了自然界和人造世界的突然变化，但它将混沌行为分解为可以在发生之前观察到的概念。随着时间的推移，大多数领域都广泛忽视了突变理论，转而青睐混沌理论，但它仍用于研究科学、数学和社会行为的某些方面。
讨论混沌理论之前，必须先详细解释一下蝴蝶效应。正如前文所述，爱德华·洛伦兹在使用数学方程式尝试更准确地预测天气时，偶然发现了蝴蝶效应 。但他发现的结果恰恰相反。洛伦兹发现，无论他输入什么数字，天气模式最初形成过程中的最小变化都会极大地改变结果，而且无法预知会得到什么结果。蝴蝶效应之所以在混沌理论之外名声大噪，是因为它在气象学领域的应用。在 1972 年的会议上，洛伦兹公开推断，即使是一只蝴蝶扇动翅膀也足以引起天气模式的巨大变化。因此，人们认为，天气只能准确预测最多两周，否则可能会出现重大误差 。
蝴蝶效应的应用范围不仅限于天气。它是一种可以应用于商业、经济甚至历史的效应。简而言之，即使是轨迹发生最细微的变化，这些区域也会受到极大影响，而且我们几乎无法预测这些微小的变化会是什么，也无法预测它们会如何影响长期的任何事情。这些事件的未知结果使蝴蝶效应成为混沌理论的前沿。
艾伦·图灵的反应扩散系统理论，在生物学和自然科学领域也被归入混沌理论的范畴。图灵的理论解释了我们在自然界中看到的随机模式。胚胎是图灵理论的一个很好的例子。胚胎由两个不同的部分组成，但这些部分将如何结合在一起以及它将创造出什么样的生命体是无法预测的，在某种程度上，这取决于生命体本身。生命形式将自己结合在一起，并出现随机模式。
这种现象在自然界和人类中都有目共睹，雪花就是另一个例子，图灵的理论还可以解释静止结构、振荡和化学波。自组织仅涵盖以两个不同部分或分子开始的生物体的创造，尽管已经进行了研究并继续进行研究如何将这一理论转化为具有多个起始分子的生物体。由于结果看似不可预测，图灵的反应扩散系统理论属于混沌理论，并展示了它如何转化为生物学，这只是受混沌影响的众多领域之一，并证明了混沌理论在洛伦兹正式发现这一概念之前就已经存在。
与混沌理论一样，分形这一概念在 1975 年被数学家 Benoit Mandelbrot 正式发现之前，已经流传了几十年。Lewis Fry Richardson 是第一个在研究英国海岸线时提出这一概念的人。他本人被认为是海岸线悖论的提出者，即海岸线既可以是无限的，也可以是有限的，就像著名的科赫雪花一样。
Mandelbrot 在发现分形时扩展了这一悖论，分形是自然界、人造物体和使用数学方程人工创造的重复几何图案。树枝、蕨类植物、贝壳和海岸线都是自然界中分形的例子。自然界中的分形被称为“混沌图像”（分形基础），因为虽然可以观察到这些图案，但科学家无法预测这些图案的每个方面。
树枝以无休止的模式相互分叉，并且模式也包含其中。尽管树枝遵循特定的模式，但无法预测每个树枝的形状及其在相邻树枝上的确切位置。
就像树枝一样，蕨叶也是在较小环境中的自我复制。蕨叶是一片有“树枝”的叶子，每个树枝都有自己的叶子。蕨类植物的无限性体现在蕨类植物可能有多少个原始树枝以及它在死亡前会长出多少树枝。混乱性体现在对无限数量的未知以及如果未知的外部因素发挥作用，蕨类植物如何调整其生长。
如果不借助最开始的例子，就无法讨论自然界中的分形图像。海岸线。理查森利用英格兰海岸线未知的混沌行为设计了海岸线悖论。海岸线是无法预测的；沙滩上的石头数量和沙粒数量是无法计算的。波浪的形态取决于太多无法预测的因素，科学家知道会有涨潮和退潮，但他们无法预测单个波浪的形态。这些只是自然界混沌分形的几个例子。
尽管分形是“混沌的图像”（分形基础），但还有另一种图像实际上就是混沌的图像。
正是在研究洛伦兹的蝴蝶效应模型时，David Ruelle于1971 年首次提出了“奇异吸引子”的概念，随后发展了与之相伴的热力学形式。Eric Weisstein将吸引子描述为“最小单位，它本身不能分解为两个或多个具有不同吸引域的吸引子”。
吸引子集用于确定各种吸引域的自然演变，洛伦兹使用这种方法来确定当天气分解为最简单的形式时会发生什么，结果就是混乱和蝴蝶效应 。Ruelle对洛伦兹模型的研究揭示了当组合在一起时变得不可预测的奇异吸引子 。蝴蝶效应是这些奇异吸引子中的第一个，但很快又出现了更多奇异吸引子。1976 年，Otto E. Rössler和 Michel Hénon被认为发现了他们自己的一组奇异吸引子，如下图所示。
由于奇异吸引子的混沌行为，曼德布洛特在20世纪70年代甚至将它们归类为几何分形图像中去。
现代的混沌理论还被用于研究不同科学领域的许多其他事物。它在医学和生物学领域都已成为必不可少的。在生物学中，混沌理论有助于解释人体中许多事物的运作方式。男性阴囊和女性乳房中的“冷却系统”被描述为混乱的，因为它们是非线性的，并且模式难以预测。在研究人类足部及其支撑整个人体重量的能力时，生物学家发现，脚底以混乱的模式转移重量，以便在站立时支撑身体的重量。尽管这项研究还处于初期阶段，但白细胞模式似乎也遵循混乱的模式。
爱德华·诺顿·洛伦兹在将四舍五入的数字输入计算机的那一天，不可能知道计算机会给他带来混乱。混乱一直回荡在时间的长河中，不仅帮助验证了旧理论，还为所有研究领域带来了许多新的理解。蝴蝶效应是混乱的正式开始。蝴蝶效应因蝴蝶翅膀的扇动而得名，并配以翅膀的图像，并得到了洛伦兹正式发现前十多年发表的一篇故事的支持，蝴蝶似乎是混沌理论的核心，让人不禁相信它们本身是否是混乱的推动者。
