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有限与无限之间的桥梁
我们要研究有限的对象，不妨假设有一个不厌其烦的机器人，可以拿着数集里的数中每两个就进行比较，并找出最大的再次拿去比较，那么有限个数的最大值，经过有限次的操作之后，最终一定可以找到。
但是无限个数的最值就变得扑朔迷离了——我们永远无法通过有限的类似操作将这些数讨论穷尽。那么，我们能否找到一种方法，可以将无限的集合中可望而不可即的那一 dui~ 点，通过合理的归纳转化为类似于我们熟知的、易于操作的有限集，从而类比得到更多有关这个无限集的性质呢？
引入｜集合的紧致性
巧的是，数学家，尤其是拓扑学家，在研究函数的连续性与间断点的时候，就注意到了这样的方向。他们通过集合论的语言，找到了一种强大的武器，用来研究像这样足够紧密，以至于我们不妨拿他当作有限对象的无穷集合——
在描述一个空间点集K的紧致性时，我们这样定义：“如果K的每一个开覆盖都有一个有限的子覆盖，那么一个拓扑（或度规）空间的子集K就被称为’紧致的’。就是通过紧致性这样的简单到抽象的定义，我们可以找到一个无限与有限的研究之间的桥梁。。。
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为了解释这样的新鲜命题，我们首先需要通过一个小故事引入一下开覆盖与有限子覆盖的概念。
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有一天，我们的主人公团子来到了一个极为热闹的广场。这里人真的好多——简直多到无穷大（）。团子出门的时候并不带伞，不巧的是，广场上突然天降大雨，这可是把团子急坏了。团子暗自感慨妈妈嘱托的真对–要是每个人都能带一把伞，那么就再也不会有被淋湿的人了！看着头顶广阔的天空，“或者”，她这样想，“要是有一把不断增大的伞集合，一直增大，大到足以覆盖住广场上的所有人，也不会有人被淋湿了！”
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然而回到现实，广场上的伞只是有限多和有限大的。所幸，很多人的伞比较大，可以覆盖住不知一个人，以至于即使减掉之前团子脑海中想象的每人一把伞中的很多把，也足以使得覆盖住所有的人不被淋湿。
前提是至少有一把伞要打在两个及以上的人头上。这么说的话，哪个好心人的伞会打在团子头上呢……
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正如故事所讲的，把打伞的人看做空间点集内的元素，把他们打的伞看做是开覆盖族中的元素。试着减少打伞的数量，只要不让有人被淋湿，不妨留下三五一组打一把相对大一点的伞，那么我们最终就足以只留下原来的伞中的有限把覆盖住广场上所有的人。这有限把伞就称为无限开覆盖中的有限子覆盖。这个定义形象的说明了紧致的集合中的元素需要满足的性质：即使用再离谱的开覆盖（大家自家伞的大小随便找），都能找到其中有限的伞，还能覆盖所有的人。
于是乎，我们对于广场上那多到不可数的的人的研究，转化为对于打在头上的有限把伞的研究就行了！这就是无限与有限的桥梁吧/
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举例论其“紧”
通过举例探讨的方式，我们可以对于常见集合的紧致性加深印象：
首先，显然所有有限点集都满足紧致性的定义。我们总是可以按每人一把的方式，找得到覆盖每个人的有限把大伞。
接着，我们在实数集领域探讨一下开区间闭区间的紧致性
一个开区间，比方说（1，2）能否符合这样的定义呢？或者，我们不妨反着说，能否找到他的一个开覆盖族，使得没有对应的有限子覆盖呢？
事实上，这样的开覆盖存在，（而且有很多……）。找到这样的开覆盖的前提是我们需要跳出原有的数只能进行四则运算的窠臼，转向极限运算的领域。比如我们找到下面这样的开覆盖组
可以简单理解为两边端点的极限都指向了我们需要覆盖的区间，s书上的证明是下面这样的
而且这样的极限是显然与开覆盖族的非有限性相挂钩的：只有当N不断增大，一直到能够覆盖任意的内点，他才能覆盖住所求区间。因而一旦我们要找有限子覆盖，这样的极限就不能达到了。
那么，闭区间的紧致性如何呢？
这里读者朋友可以先猜测一下：
闭区间是开区间的补集，那么由于开区间不是紧致的，我们不妨猜想闭区间则是紧致的。即 闭区间的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
一般的证明方法都是利用闭区间套法，我们假设不存在有限子覆盖，即开覆盖总是至少有一半不找到有限子覆盖，因为显然的如果两半都能找到有限的子覆盖，就不叫假设了。我们围绕这里的至少一半构造闭区间套。那么最终这个闭区间套的尽头就是一个实数，他就是我们假定的无法用有限子覆盖圈主的一个点。他必定包含在这里的某一个开覆盖中（使用闭区间套的端点满足单调有界数列，从而满足极限存在来说明），这也就与我们假设的不能使用有限子覆盖覆盖住那个点矛盾了。
上面是我的老师给出的证明。
在下面你会看到闭区间套的推广形式：收缩的格子
我们证明了这样的命题，不妨对命题进行推广，先证明更为一般的结论，从而抓住命题的核心关键。怎样推广呢？至少有两个方面：
1、集合是闭区间是否与集合是紧集之间存在等价关系
2、是否在更高的向量空间上，而非局限于实数，都满足这样的等价性
3、紧集的闭子集是否也是紧集？
……
这样的证明领域已经扩展到了我们现有储备的数学常识之外了，我们不妨先介绍一下往后的出场人物，再给出详细的讲解。
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何为开集&闭集？
内点：所有点都存在一个邻域可以完全包含在这个集合内
–聚点：该点的任意邻域与目标集合的交内都至少存在也属于该集合的一点（也叫极限点）
–完备性：集合的任何点都是相对于集合的聚点。
–连通性：R 的子集 E 是连通的，当且仅当对于任意给定的两点 x, y ∈ E 和任意给定
的 z ∈ R，如果 x < z < y，那么 z ∈ E．
那么对于更为广泛的拓扑空间，“开区间”云云已经显得捉襟见肘了。我们需要引入的是开集与闭集：
开集：所有点都是集合的内点
闭集：集合的任意聚点都包含在内。
那么，上面的命题自然就向这个方向进行推广：
即，是否所有的开集都不是紧集，而所有的闭集都是紧致的？
（留白，是为了在下次详细讲(￣▽￣)’）
（对了！作为逻辑的严谨性考虑，我还要证明闭集的补集=开集，只好下次一起了）
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海涅-博雷尔定理
对于上面命题3的证明其实很简单，，我们设K的闭子集F，Fc为其补集
证明的关键是 F 作为闭集，在 K 中的补集则是开集。所以这个补集Fc与 F 的 任意一个开覆盖共同构成了 K 的开覆盖。然后在紧集K上，研究这样的一个开覆盖，根据定义一定可以取 他的一个有限子覆盖，再从中去掉 Fc即可得到F的任意开覆盖的有限子覆盖了!．
命题1、2的证明，，我们证明高维情况即可。
定理 12.6 (海涅–博雷尔定理).
R的k次方 （k维的向量空间）的子集 E 是紧集当且仅当它既是闭集又是有界集．
这里分成充分和必要两方面来证明：
证明闭集紧致，我们可以类似使用闭区间套法，在高维空间使用收缩的格子来圈住我们想要的那一系列
使用反证法，假设 k 维格子 I 不是紧集，那么某个开覆盖 {Gα} 就
没有有限子覆盖．把 I 划分成有限多个更小的 k 维格子，其中至少有一个子 k 维
格子不能被 {Gα} 中任意有限多个集合覆盖．（否则 {Gα} 就存在一个 I 的有限
子覆盖．）于是，选取这个子 k 维格子并将其划分成更小的 k 维格子．同样地，其
中至少有一个子 k 维格子不能被有限覆盖……如图 12.3 所示，我们继续划分下
去，从而得到一族嵌套的 k 维格子，其中每一个都不能被有限覆盖．
根据推广后的定理，它们的交集一定至少包含一个元素 x
∗．既然 x
∗ ∈ I，那么
{Gα} 中一定存在一个包含 x
∗ 的集合 G1．又因为 G1 是开集，所以 x
∗ 的某个邻
域会包含在 G1 中．由于每个嵌套的 k 维格子都包含一个更小的子 k 维格子，所
以可以找到一个足够小的 k 维格子，使其包含在 x
∗ 的该邻域中．因此，在这些
嵌套的 k 维格子中，有一个 k 维格子被 G1 覆盖（即被 {Gα} 中有限多个集合覆
盖），这样就得到了矛盾！
那么，对于所有的有界闭集，我们都可以找到一个大的包含他的作为紧集的格子，这样的紧集的闭子集根据上面的讨论，则也是紧致的了！
证明紧集是闭集，即证紧集的补集Fc是开集，则取Fc内任意一点p要证明其为Fc的内点。为了利用紧集的性质，我们想象一种合适的F的开覆盖，则必然存在有限子覆盖，有限使得足以确定距离p点的最近距离！（还记得我们引言里的那个机器人吗！）
我们可以在这些例子中归纳出使用紧致性的一般步骤：
首先分析问题本质，关联连续性和聚点的知识，从而找一种合适的开覆盖，那么根据定义他就一定是存在有限子覆盖的。
接着，我们的引言里的机器人就会排上用场了。但凡有限的集合，我们总是可以研究他的边界，确定他的极值，并且分析他的性质。
他的证明与应用领域真的好广阔，我担心一次讲完会影响其效果（，我们留一个悬念下次再讲吧）
从无限到有限的证明
「READING」
当我们见到所有类似于连续曲线、极限、聚点的命题，都可以自然运用集合的紧致性加以证明
直观的看，这也合情合理：我们看到的连续函数，确实是连成了一整片的，确实要想跨越正负端 ，也必须要经历中间值——暂且拿中值定理举例！
证明中值定理：
先证零点定理，然后所有的中值c都可以通过零点定理中的函数+c得到:
𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎,𝑏],𝑓(𝑎)⋅𝑓(𝑏)<0 , 则 ∃ 𝑐∈[𝑎,𝑏]:𝑓(𝑐)=0 。
我们用反证法。假设 𝑓(𝑥) 在 [𝑎,𝑏] 中不存在零点。
首先函数无零点，则由局部保号性可知:
∀ 𝑥′∈[𝑎,𝑏],∃ 𝜎′=(𝑥′−𝛿′,𝑥′+𝛿′):𝑥′∈(𝑥′−𝛿′,𝑥′+𝛿′) ,
且使得 f(𝑥) 在这个区间还保持定号。
这种邻域所组成的无穷系列 Σ={𝜎} 就自然覆盖住整个区间 [𝑎,𝑏] 。由Borel引理可知，存在有限开覆盖 Σ∗ 。
区间左端点 𝑎 属于 Σ∗ 中的某一个邻域，设为 𝜎1=(𝑥1−𝛿1,𝑥1+𝛿1) 。
这个邻域的右端点 𝑥1+𝛿1∈𝜎2=(𝑥2−𝛿2,𝑥2+𝛿2)∈Σ∗ , 依次类推。 我们就找到了有限个区间𝜎1,𝜎2,⋯,𝜎𝑛 这些开区间可以覆盖整个闭区间 [𝑎,𝑏] ， Σ 中的其他开区间我们就可以省略掉。 在区间 𝜎1 中，函数 𝑓(𝑥) 保持定号，符号与 𝑓(𝑎) 同号。 在区间 𝜎2 中，函数 𝑓(𝑥) 保持定号，而且符号 𝜎1 右侧重叠部分同号， 也就与 𝑓(𝑎) 同号。 以此类推，最终我们得到 𝑓(𝑏),𝑓(𝑎) 同号。这样就产生矛盾。
因此假设不成立，结论得证!
再比如证明闭区间上定义的连续函数必然有界：
为了具体化，我们考虑那个紧致集是闭区间[0,1]。首先，考虑区间[0,1]中的任意实数x。由于函数f是连续的，这意味着x的小变化会导致f(x)的相对小的变化。y也就是我们都可以看到的样子：在很小的邻域内，f确实是有界的！
你能看出这要表达什么吗？我们可以围绕定义域中的每一个点x构建一个这样的小δ区间，从而可能地覆盖整个[0,1]的无数个δ区间。
但是，因为[0,1]是紧致的，这意味着可以减少到仍然覆盖[0,1]的这些δ区间的有限子集。但由于f在每一个剩下的δ区间上都是有界的，并且这样的δ区间只有有限多个，所以f必须有一个有限的整体上界：只需取所有剩下的δ区间中f的最高上界。同样地，可以找到一个有限的整体下界。因此，f在整个区间[0,1]上都是有界的。我们已经将局部有界性转化为全局有界性！！
请注意，这里的定义域只有在闭集上才能实现，因为闭集上才有用引理得到有限子覆盖的可能性！
总结与感悟
Proven推广以及学科背景
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海涅博雷尔引理的说明：
定义里的2点缺一不可：
1、研究的实数区间一定是闭区间，或者在高维向量空间中，只有闭集才能适用这个定理。
2、紧集的判定只能使用开区间来“开覆盖”——否则容易找到这样的无穷单元素覆盖（其实把其间实数单列出来的不可数无穷多个集合就可以），使得不存在这种开覆盖的有限子覆盖
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在我们常见的拓扑空间中，集合的紧致是与其中任意子列的紧致密切相关的（列紧等价于紧致）。事实证明，在欧氏空间中，一个集合K是紧致的，当且仅当该集合内的每一个点的序列都有一个子序列趋近于该集合K内的一个点。也就是说，紧致集是一个集合，它迫使其内部的任何点的序列在紧致集内形成群集，并趋近于一个点。
那么什么样的集合才能做到这样呢？根据之前的老师已经讨论烂的情形
12完整的
3完全有界的（指无穷维空间）
度规空间中的集合S是完全有界的，如果对于任意给定的ε > 0: S可以被有限多个半径为ε的球所覆盖。
3特别针对 的是这样一种情况，在这里实际上有一个点序列，它无休止地探索无限维空间的所有无限多的坐标轴，同时总是保持与原点的固定距离。所以它通过某种方式避免了接近任何东西，穿越了无限的维度。这听起来像是科幻小说，但这是真正的数学。
综合上述
这是我直观地思考紧致性的方式：一个集合是紧凑的，当它足够小且足够“实心”，以至于集合内的序列无法逃到无限远，逃入一个孔或边缘，或通过无限的维度逃脱。
也许看到这里，很多朋友依旧不能很好地理解拓扑学到底研究的是什么，这并不要紧——因为这是一门异常艰深的学科。
而我们现在所需要了解的，是要永远保持一颗求知的心。不要被已有的认知所束缚！
就像拓扑学家面对茶杯和甜甜圈时，能够说出的那句话一样：
“在一个更本质的层面上，这两个东西没有任何差别。”
写在最后
作者系生命科学院在读大学生，希望以有趣但是精准的语言，讲述属于自己这代人的科普；以深入浅出的科学小史，标记属于时代的辉煌成就……
以上仅代表个人观点，如有不严谨之处，请多指教！
Acknowledgement
鸣谢
部分图文来源参考
讲义：数学分析八讲，辛钦
数学分析，my respectable teacher Zhang
微信：老胡说科学
知乎：学数相伴
YOUYUBE:
The Concept So Much of Modern Math is Built On | Compactness Morphocular
https://www./watch?v=td7Nz9ATyWY&t=26s
拓
扑