之前，我们讨论了为什么需要希尔伯特空间来处理无限维向量空间。在希尔伯特空间的定义中，我们提到了内积，并说它基本上类似于点积。这篇文章，我想进一步探讨这个概念，并弄清楚内积是什么。
在深入探讨内积之前，让我们先看一下为什么点积在向量空间中是一个有用的概念。首先，点积使我们能够定义角度和正交的概念。我们有以下关于点积的等式，
这实际上告诉我们点积是衡量向量之间角度的一个标准。重要的是，如果两个向量箭头正交，它们的点积就是零。
其次，点积为我们提供了一种定义抽象向量“长度”的方法。
在典型的箭头表示法中，我们可以用勾股定理来计算向量的长度。注意，这与向量自身的点积的平方根相同，
所以我们可以根据点积来定义它。根据点积定义向量的长度非常有用，因为它可以应用于不一定是箭头的向量。这些是我们希望在量子向量空间中引入的概念。
因此，我们希望找到一种方法来抽象点积，使其成为一种可以在任何向量空间中使用的概念，而不仅仅是箭头和数列。这正是内积（inner product）的作用。
那么，我们应该如何定义内积呢？
从本质上说，内积是一种映射，它接收两个向量并输出一个数字，这个数字可能是复数。
这种表示法有点笨重，在量子力学中我们使用一种更简洁的表示法，通过把两个态矢量放在一起，如下所示，
在定义内积之前，我还需要补充一点。在观察态矢量的加法和标量乘法时，有时我们会把它们写成一个新的态矢量，如此表示，
乍一看这可能有点奇怪，但可以把它看作是对运算结果的新向量的标签。
现在，记住我们希望定义内积是为了定义像长度这样的概念，它应该是一个实数且为正数。为了满足这一点，我们需要设置一些规则。首先，内积在右边位置上应该是线性的。这意味着对于态矢量 ψ、φ 和 ζ 以及标量 a，有如下公式，
这符合我们对点积的直觉。稍后我们会说明左边位置的不同规则。
接下来，当我们翻转内积时会发生什么？
你可能认为它们可以直接相等，但让我们看看为什么这会有问题。假设向量 φ 自身的内积等于 1。
现在我们来计算新向量 i 乘以 φ 自身的内积。
首先从右边取出 i。
现在，假设翻转内积不会改变任何东西，我们可以翻转这两个位置，
再次取出 i，
假设原来的内积等于 1。我们得到的新内积等于 -1。这是一个问题！
我们希望将向量的长度定义为它与自身内积的平方根。
在这种情况下，得到一个虚数长度，这是没有意义的！
解决这个问题的方法是增加一个条件，即当我们翻转内积时，必须添加复共轭。
回到前面的例子并添加这个条件，现在得到如下结果，
最后，我们还需要一个条件来确保向量的大小是有意义的。我们必须规定只有零向量的长度为零，这意味着如果向量非零，那么它的长度必须大于零。
现在有了内积的正式定义。
你现在明白这些条件是如何仅在点积的基础上添加了一些额外规则，以确保我们仍然可以定义长度的吗？希望内积不再那么神秘了。现在，如果在内积的另一侧有一个线性组合怎么办？
我们可以直接应用当前的规则。首先，我们翻转它，得到复共轭，
然后利用右槽的线性性，确保适当地分配共轭，
然后再次翻转内积，这会抵消共轭。
因此，得到的是带有共轭系数的内积。所以，尽管右边的位置是线性的，但左边的位置是所谓的反线性的，其中系数被共轭。
让我们再确立一些关于内积的内容。按照我们对点积的直觉，我们将定义一个态矢量的大小为其内积的平方根。
我们还会说，如果两个向量的内积为零，那么它们是正交的。
有了这些概念，现在让我们使用内积来看看它在量子向量空间中是如何工作的。首先，假设有一个正交归一基，这意味着每个向量的长度都是一，并且它们彼此正交，
物理学家通常会使用克罗内克δ（Kronecker delta）将这两个条件合并成一个，
克罗内克δ是一个非常简单的对象，有两个下标。当下标相等时，它等于1，否则等于零。
因此，正交归一条件可以简化为一个陈述。
因此，如果有一个正交归一基，我们可以在这个基中展开任意的量子态。
那么，我们如何得到一个特定的系数？由于这些向量彼此正交，我们可以使用内积来挑选出我们关心的系数。所以如果想要第二个系数，让我们与第二个基向量进行内积。
利用内积在右槽的线性性，可以将内积移动到和式中。
将内积写为克罗内克δ，
克罗内克δ只有在下标相等时才等于1，否则为零。因此，当对克罗内克δ求和时，和式中的所有元素都将为零，除了与下标相等的那一个。所以我们可以将和式收缩，并在看到 i 的地方将其替换为2。
这就得到的是系数。
在这里使用克罗内克δ似乎有些多余，但相信我，它是一个强大的工具，值得习惯使用。要了解它有多强大，让我们看看两个向量的内积，
按照惯例，我们在这个正交归一基中展开这两个向量，
下面我们简化这一点。首先，向量和的内积等于各个内积的和，所以得到一个双重求和，
接下来，记住右槽是线性的，所以将 b 系数提出；而左槽是反线性的，所以将 a 系数共轭并提出。
假设这是一个正交归一基，所以可以将这个内积写为克罗内克δ，
因为克罗内克δ只有在 i 等于 j 时才非零。因此，在内层 j 求和时，唯一的非零项将是与 i 相等的项。所以，我们可以将内层求和收缩，并在看到 j 的地方用 i 替换——剩下的克罗内克δ仅等于1。
看到技巧了吗？克罗内克δ允许我们轻松地收缩求和，只需要匹配两个指标。
剩下的是什么？
这看起来可能很奇怪，但假设所有的系数都是实数。这意味着共轭操作不会产生影响，得到如下结果，
看起来很熟悉吗？这就是点积！在我们的定义中我们没有提到点积，但它就出现了！所以希望你能理解点积就是在特定的正交归一基中看待内积时得到的结果。
我们在内积方面取得了很大的进展，但到目前为止只看到了离散线性组合的内积——如果有一个连续线性组合怎么办？这是后话了。