引言：π 的神秘与现实
圆周率 π 是数学中最具神秘感的常数之一，它不仅广泛应用于建筑、工程、天文学和物理学的各个领域，还象征着人类在探寻宇宙奥秘中的不断追求。
从古至今，数学家们孜孜不倦地追求对 π 的精确计算，跨越了数千年历史，π 的计算从最早的简单近似到现代超级计算机的复杂算法，展现了数学的力量与智慧的不断进步。
古代 π 的探索
π 的探索可以追溯到数千年前，古代数学家们用他们的智慧尝试解开这一神秘常数的奥秘。
▌古巴比伦和古埃及的 π 近似
公元前 2000 年，古巴比伦数学家们通常使用 3 作为 π 的近似值，这在当时的建筑和工程测量中已足够实用。然而，他们也在不断追求更高的精确度。
在公元前 1800 年左右，一块出土于苏萨的古巴比伦粘土板上，记录了 π 的更精确近似值 25/8 ≈ 3.125。这个值比 π 的真实值相差了约 0.528% ，但在当时已经是了不起的成就。
与此同时，古埃及数学家们也在探索 π 的奥秘。在约公元前 1600 年的《莱茵德数学纸草书》(Rhind Mathematical Papyrus)中，他们通过将圆用八边形逼近，得出了 π 的近似值 256/81 ≈ 3.16。这个值的误差约为 0.6% ，同样是当时数学水平的一个重要成果。
这些早期的计算方法虽然简单，但它们开启了人类对 π 的探索之旅。
▌阿基米德的突破
真正让 π 的计算迈上新台阶的是古希腊数学家阿基米德（Archimedes）。他在公元前三世纪通过几何方法，提出了一个著名的不等式：
这意味着 π 的值介于 3.1408 和 3.1429 之间，精度非常高。阿基米德通过将圆内外分别嵌套多边形（如正六边形、十二边形、二十四边形等），以此逼近圆的周长。
这种方法为后世数学家提供了一个强有力的工具，标志着几何学在 π 的计算上进入了一个新的阶段。
▌中国数学家的贡献
在我国，数学家们同样对 π 进行了深入研究。公元 263 年，刘徽通过研究正多边形，计算出了 π 的值在 3.141024 和 3.142708 之间。他还建议使用 3.14 作为日常使用的近似值，这对当时的建筑和工程有着重要的实用价值。
中国数学史上圆周率的重大突破来自于南北朝时期杰出的数学家祖冲之。他在 5 世纪计算出了 π 的精确值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，这是当时世界上最精确的 π 近似。祖冲之还提出了著名的分数近似值：
这个分数被称为“密率”，它是五位数内最精确的有理数近似，长达近千年无人能超越。
▌印度数学家的突破
在 14 世纪，印度数学家马达瓦（Madhava of Sangamagrama）提出了一个重要的无穷级数，用来表示 π：
这个公式后来由莱布尼茨推广，成为了我们今天熟知的 马达瓦–莱布尼茨级数。
尽管该级数收敛速度较慢，但它开创了一个全新的思路：通过无穷级数来逼近 π，为后世数学家提供了新的工具。
通过这个公式，马达瓦成功将 π 精确到了 11 位小数。想象一下，在没有计算器的年代，能够手工计算出如此精确的 π 值，这无疑是一个惊人的成就。
马达瓦还进一步改进了这个公式，加入了一个修正项，使得 π 的精确度提高到了 13 位小数。这一成就极大推动了数学的发展。
▌伊斯兰黄金时代的贡献
波斯天文学家和数学家贾姆希德·卡西（Jamshīd al-Kāshī）在 15 世纪初通过计算一个边数多达 3 × 2²⁸ 的多边形周长，成功将 π 的精度提高到 16 位小数。他的公式：
这是通过传统的几何方法实现的，但精度已经超越了古希腊数学家数百年前的成就。卡西的计算不仅仅是数学上的突破，也为后来的 π 计算奠定了基础。
欧洲数学的进展
▌维埃特和沃利斯的 π 乘积公式
文艺复兴时期，欧洲数学家在 π 的计算上取得了新的突破。法国数学家弗朗索瓦·维埃特（François Viète）于 1593 年发现了第一个通过无限乘积逼近 π 的公式：
这是历史上第一个通过代数方法逼近 π 的公式，标志着数学家从几何方法转向了代数方法。
1656 年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）提出了一个更为著名的乘积公式：
这个公式通过一系列有理数的乘积逼近 π，为后世的 π 计算提供了新的方向。
这些公式虽然并不高效，但它们的发现标志着数学家在理解 π 的过程中逐渐从几何转向代数，推动了代数方法的发展。
▌马钦公式：π 的高速计算利器
1706 年，英国数学家约翰·马钦（John Machin）提出了一个极为快速收敛的公式：
这个公式的收敛速度非常快，在后来的 π 计算中发挥了重要作用，尤其是在机械计算机和早期电子计算机时代。
现代 π 的计算：从手工到超级计算机
▌威廉·尚克斯的手工计算
到了 19 世纪，数学家们对 π 的计算进入了一个新的高潮。
1841 年，英国业余数学家威廉·尚克斯（William Shanks）通过手工计算，得出了 π 的前 527 位小数。这一纪录保持了几十年，直到 1950 年代，才被电子计算机打破。
想象一下，在没有计算机的时代，这需要怎样的耐心和专注！
尚克斯于 1853 年发表的圆周率近似值
然而，尚克斯的计算并非完全正确。1944 年，D. F. Ferguson 通过机械计算器发现，尚克斯在第 528 位上出现了错误，导致后面的计算结果全都错误。不过，在没有计算机的时代，尚克斯的努力依然值得尊敬。
计算机时代的 π 计算
随着电子计算机的发明，π 的计算进入了一个全新的时代。1950 年代，计算机第一次将 π 的位数扩展到了 10 万位。此后，随着计算机技术的不断进步，数学家们开始使用更加复杂的算法来计算 π。
几个重要的算法推动了这一进程：
▌高斯-勒让德算法
1975 年，高斯-勒让德算法被提出，成为了现代 π 计算的核心算法之一。它的时间复杂度为 O(M(n)log(n))，收敛速度极快，广泛用于计算 π 的高精度值。
▌楚德诺夫斯基算法
1988 年，乌克兰裔美国数学家楚德诺夫斯基兄弟提出了一个极快收敛的公式，用于计算 π 的高精度值：
这个公式每项增加 14 位有效数字，是目前计算 π 最快的算法之一，广泛用于现代超级计算机进行大规模的 π 计算。
▌BBP 公式（Bailey–Borwein–Plouffe formula）
1995 年，西蒙·普劳夫(Simon Plouffe)等人发现了 BBP 公式，这是第一个能够直接计算 π 任意位数的公式，而无需计算之前的所有位数：
这个公式的发现曾震惊学界。数百年来，求出 π 的第 n 位小数而不求出它的前 n-1 位曾被认为是不可能的。
这一公式不仅是 π 计算史上的重大突破，还为现代数字提取算法奠定了基础。
▌从 10 万位到 202 万亿位
1989 年，楚德诺夫斯基兄弟通过 IBM 3090 超级计算机使用他们的算法将 π 的位数扩展到了 10 亿位。此后，π 的计算突破了 10 万亿位、50 万亿位，直至 2024 年 7 月 5 日，π 的位数已经扩展到了202 万亿位。这一切都依赖于现代超级计算机的强大性能。
π 的未来
尽管 π 的位数已经计算到了 202 万亿位，但对于科学和工程的实际应用来说，π 的前 39 位小数就足够精确。然而，数学家们仍在继续探索 π 的性质，特别是 π 的数字序列是否是完全随机的，是否包含所有可能的数字组合等问题。这些问题至今仍未解答。
▌对 π 的无尽探索
从古代文明到现代超级计算机，π 的探索之旅是一部展现人类智慧、创新精神和技术进步的史诗。
随着科技的进步，关于圆周率的计算必定将不断突破新的极限。在未来的岁月中，π 仍将继续激发科学家和数学家的好奇心，推动人类对数学与宇宙的理解不断向前迈进。