微精选

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                          段          落

      写 在 前 面

      一，欣赏视频

           《斐波那契数列的宇宙密码》

      二，斐波那契数列处处可见

          1. 橡树的斐波那契数列

          2. DNA的黄金比率

          3. 斐波那契螺线

          4. 宇宙中的黄金螺线

       三，生命周期与斐波那契数列

           1. 幼兔的繁殖机制

           2. 生命周期图的超前阶段

           3. 生命周期图的滞后阶段

            4. 生命周期图

        四，生命周期滞后性质的应用

            1. 黄金分割点与对称中心

            2. 股价回调

            3. 汇价回调

            4. 社会主要矛盾的变化

            5. 社会阶层贫富的变化

        五，斐波那契数列数学溯源

            1. 求系数为1的二次多项式的解

           2. 黄金比率迭代公式连分式表达

            3. 黄金比率的连分数表达

            5. 黄金比率的根式表达

            6. 黄金比率的真谛

        六，谈方琳与斐波那契数列之缘

            1. 谈方琳荣获奖项

            2. 未解问题源头

            3. 谈方琳证明的定理

        斐波那契数计算表

                          写 在 前 面

生物世界中，DNA这一生命大分子的秘密无疑令人叹为观止。DNA的双螺旋结构宛如神奇的双螺旋阶梯，其中右手螺旋（A/B form）占据了主导地位，宛如宇宙中生物体内的自然选择象征，据说这是由于宇宙射线可能对左旋分子造成破坏，而右旋得以留存。这个理论在1961年的Vester-Ulbricht模型中首次提出，经过2014年的实验验证，为我们揭示了糖与氨基酸之间奇妙的结合方式，就如同DNA结构的乐章。

DNA双螺旋结构的每一个完整周期中都也遵循这个斐波那契数列。

斐波那契数列，又称黄金分割数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55, …

递推公式

设 n 为正整数，记第 n 个斐波那契数为F(n)，则表为

    F(n) ＝F(n－2) + F(n－1)，n ≥ 3

                 F(1) ＝1， F(2) ＝1

【注】这里的递推公式，和两个初始点，正确地表述了上面的斐波那契数列。

通项公式

设 n为正整数，n ≥ 1，则第n个斐波那契数 F(n) 可表成

这个通项公式是用无理数√5 来表达正整数，其目的就是能够从斐波那契数在数列中的位置准确地计算出斐波那契数。当位数n 很大时，用递推公式求得斐波那契数，相当费时。在手机里的MapleCalculator app 里输入通项公式和 n 值，会立即得到结果。

(参见本文末尾的附表)

更进一步，斐波那契数列与黄金比率Φ 满足下面恒等式：

数学揭示了生命的起源，斐波那契数列、黄金比率和黄金分割同源，它存在于人类之中，存在于自然界，存在于浩瀚宇宙，它成为神秘的宇宙密码。

笔者在本文中尽量用简单的数学术语和公式推导展示了宇宙密码的作用和奥秘。

文中最后一段叙述了中国天才少女谈方琳在斐波那契数列领域里做出的卓越贡献，在世界数学界为祖国增光。

文中素材取自网络，衷心感谢各位原作者。笔者的观点和数学推导可能有错误和不当之处，请读者批评指正，谢谢。

要想了解更多信息，请参阅笔者美篇文章：

            数1               2021-09-24

            数1 (续)     2022-11-04

            数学之美    2024-01-02

                     一，欣赏视频

    《斐波那契数列的宇宙密码》

              点击播放视频 (横屏)

              《神秘的宇宙密码》

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原视频时长约13分钟 ，为适合美篇限制，把视频提速压缩成时长10分钟，展示了与斐波那契数列相关的历史、新闻、数学、生物、社会、金融等各个领域的信息，原作者制作时消耗了大量时间。笔者在此表示深深的感谢！

       二，斐波那契数列处处可见

1. 橡树的斐波那契数列

橡树树干的分枝也依照着斐波那契数列排列，每一次分枝都是依照1，2，3，5，8，13，21，的数字生长。

(参看下面示意图)

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2. DNA的黄金比率

生物世界中，DNA这一生命大分子的秘密无疑令人叹为观止。DNA的双螺旋结构宛如神奇的双螺旋阶梯，其中右手螺旋（A/B form）占据了主导地位，宛如宇宙中生物体内的自然选择象征，据说这是由于宇宙射线可能对左旋分子造成破坏，而右旋得以留存。这个理论在1961年的Vester-Ulbricht模型中首次提出，经过2014年的实验验证，为我们揭示了糖与氨基酸之间奇妙的结合方式，就如同DNA结构的乐章。

DNA主链由脱氧核糖和磷酸基通过酯键交替连接而成。主链有二条，它们似“麻花状”绕一共同轴心以右手方向盘旋，相互平行而走向相反形成双螺旋构型。

双螺旋结构的直径为 2nm；每个螺旋周期包含10对碱基；螺距为 3.4nm；相邻碱基对平面的间距0.34nm。

双螺旋表面有两条宽窄深浅不一的一个大沟和一个小沟，它们与双螺旋结构中心轴线的夾角为36度，它们两侧是不同的螺旋线，二螺旋线间平行于中心轴线的线段长度分别为 a＝2.1纳米和 b＝1.3纳米。

13 和 21 是斐波那契数列中两个相邻的两个数。它们比约为黄金比率

                            a/b ≈1.6154…

参看下面DNA双螺旋结构图：

3. 斐波那契螺线

依次呈螺旋形排列的正方形.将这些正方形内以顶点为圆心，以边长为半径的1/4 圆弧，并连接起来，构成一个平滑的螺旋线，即斐波那契（Fibonacci）螺线。这圆弧半径序列为斐波那契数列

        1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…

序列中的圆弧半径，前与后的比值序列的极限为黄金比率0.618..。称该螺线为斐波那契螺线，即近似黄金螺线(外伸)。

参看下面各图：

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4. 宇宙中的黄金螺线

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     三，生命周期与斐波那契数列

1. 幼兔的繁殖机制

刚生下来的幼兔一般在出生后两个月，理论上就具有繁殖能力。

也就是说，第一、二个月是一个过渡期，小兔的成长、成熟阶段。

在第三个月里这对雌雄小兔都有可能生小兔子。兔子的繁殖阶段通常为30天左右。

这一阶段可能会受到年龄、健康状况、环境等多种因素的影响。

【注】在实际人工饲养中，为了确保兔子的健康和后代的健康，建议在兔子达到 6个月大时再进行繁殖。这一时期是兔子性成熟期，此时它们的性功能发育良好，能够繁殖出健康的小兔子，很少出现早产或难产的情况。兔子的繁殖能力在第一个繁殖年内达到顶峰，之后会逐年下降，一般建议利用的年限为2－3年。

2. 生命周期图的超前阶段

一对成熟的雌雄小兔生下一对雌雄幼兔，在生命周期图 (小兔繁殖序列图) 中，本应该呆在父母身边，处于同一个月份里，可是为了便于繁殖序列图中的兔对计数，这对刚出生的雌雄幼兔超前放入下个月份 (用白色倾斜箭头表示)。这称为超前阶段。

3. 生命周期图的滞后阶段

第一、二个月是一个过渡期，小兔的成长、成熟阶段。但是在生命周期图 中第二个月初的一对小兔图形还是刚出生的模样，滞后仃留在前一个月份里，这称为滞后阶段。为了便于繁殖序列图中的兔对计数，这对刚出生模样的幼兔对摇身一变，化为成熟小兔直接跨入下个月份 (用彩色竖直箭头表示)。

4. 生命周期示意图

从上图看出，在第一个月到第七个月这个时间段里，雌雄小兔的对数R 为

            1，1，2，3，5，8，13

这就是斐波那契数列，它与对应月份n 之间的规律是R＝F(n)，其中F(n) 满足递推公式

    F(n) ＝F(n－2) + F(n－1)，n ≥ 3

                  F(1) ＝1，F(2) ＝1

这个规律是斐波那契首次发现的，以他的名字命名。

地球上所有生物生长和繁殖的方式，无论是原核生物，还是更加复杂的多细胞生物，都存在着生命周期，在生物学中无处不在。正是因为这是生命周期的一个基本规律，所以说斐波那契数列是一个和生命周期有关的数列。

生命周期通常是指，生物体从出生、成长、成熟、繁殖、衰退到死亡的全部过程。虽然斐波那契数列还不能完全展示所有阶段，但是它能从数学上解释出生、成长和成熟这三个阶段，其实已经非常了不起了。

     四，生命周期滞后性质的应用

1. 黄金分割点与对称中心

对称美学在不同领域都有广泛的应用。例如，在绘画中，对称构图可以营造出和谐、平衡的美感。通过对称布局和元素，可以营造出一种和谐、平衡的美感。对称之美融入建筑、绘画、诗歌、瓷器等各个方面。对称美学在科学和艺术中也有着重要的地位。科学家们高度评价对称之美，认为它是科学研究的有效途径。

在电动力学中，对称性的追求对科学理论的发展起到了积极的建设性作用。

黄金分割法是一种有效的艺术和技术分析工具，用于判断股价的支撑位与压力位。

这种方法基于斐波那契数列中的关键数字，其中，0.618和1.618被认为是最重要的数字，称为黄金分割率。它们各自把[0，1] 分成两个子区间，虽然不是对称美，不是平衡美，但它们比对称美更美，是一种对偶美。它们两个合在一起却构建出别样的对称美。

出于这种考虑，我们把黄金分割点及相关的对称中心，依大小顺序列在下方。

[0，1] 区间：

0.0              区间起点

0.191         局部对称中心

0.382       区间黄金分割点

0.500       区间(也是局部)对称中心

0.618        区间黄金分割点

0.191         局部对称中心

1.0               区间终点

将 [0，1] 区间平移单位1，得到 [1，2] 区间。

[1，2] 区间：

1.0               区间起点

1.191          局部对称中心

1.382         区间黄金分割点

1.500         区间(也是局部)对称中心

1.618          区间黄金分割点

1.191          局部对称中心

2.0               区间终点

把上个区间终点与下个区间起点合并，即点1.0 ，成为新合成区间 [0，2] 的区间(也是局部)对称中心。

区间 [0，2] 上的这些点通称为黄金分割点，把过每点的水平直线称为黄金分割线。

这些数字被认为是市场心理关口的最佳代表，能够帮助投资者预测价格走势的转折点。

2. 股价回调

有人试图把斐波那契数列和股票的涨落放在一起研究，大家发现股价回调通常会在黄金分割点，也就是在38.2% 和 61.8% 的位置上得到强力支撑。这种现象就被称为斐波那契回调。

在实际应用中，可以从股票的价格波动中找到两个明显的点（如高点和低点），然后使用这些点来确定黄金分割点，并画出黄金分割线，从而预测未来的价格趋势。

在上涨趋势中，价格回调到某个黄金分割位时，投资者应关注是否会出现反弹，以找出支撑位(或称支撑点)；在下跌趋势中，价格接近黄金分割位时，投资者应留意是否会遇到强烈的阻力‌，以找出压力位(或称压力点)。

画线技巧：

支撑线和压力线的画法涉及将两个或两个以上的相对低点连成一条直线得到支撑线，将两个或两个以上的相对高点连成一条直线得到压力线‌。

注意事项：

虽然黄金分割法提供了一种预测价格走势的工具，但它并不是万能的。市场价格的波动可能受到多种因素的影响，包括但不限于宏观经济状况、公司业绩、政策变化等。因此，投资者在使用黄金分割法进行决策时，还应综合考虑其他因素‌，需要结合市场实际情况和其他相关信息来综合判断，以降低投资风险。

参看下面上证指数K线图：

3. 汇价回调

对各国汇率的分析也会用到斐波那契回调，相关的分析原理和术语请参考上面股价回调一段。

参看下面汇率曲线图：

从上面这张图可以很清楚的看到，美元对加元的汇价在 38.2% 回调位上有强大的阻力。

分析汇率压力线主要依赖于技术分析方法，‌通过对汇率的历史价格和成交量等数据进行分析，‌‌这种方法适用于短期汇率预测。‌技术分析基于心理学、‌统计学等学科的研究方法和手段，‌通过对以往汇率的研究，‌预测出汇率的未来走势。‌

‌AI时代将要到来，更先进的方法，‌如机器学习方法和人工智能方法，‌利用深度学习等人工智能技术，‌结合多种数据来源和分析方法，‌进行汇率预测。‌这些方法具有较高的预测准确性，‌但计算复杂度较高。‌使用这些方法时，‌可以通过对历史数据的训练，‌让算法学习到价格变动的规律，‌从而对未来的汇率走势进行更准确的预测。‌

为什么斐波那契数列能运用到股市上呢？大概是因为股票和汇率的均线图存在着某种滞后，斐波那契数列就有一种天然的呼应关系。

如果把生命周期这个概念继续进行延伸，它可以泛指人类社会，各种客观事物的阶段性变化，那么我们还可以用斐波那契数列进行更多的研究。

4. 社会主要矛盾的变化

因为各个时期社会主要矛盾是不一样的。对于一部分人群来说，今天井不是主要矛盾，但是明天就可能会上升为主要矛盾，所以这里面就存在着某种滞后，有关生长与滞后的课题斐波那契数列就可以用上排场了。

5. 社会阶层贫富的变化

有一些人群因为新兴产业的出现致富了，也有一些人群被时代淘汰而贫穷了。斐波那契数列都可能起到重要的作用。

所以说斐波那契数列仍然是一组神秘的宇宙密码，它是生命周期问题对应的数学规律，这个才是斐波那契数列的真正含义。

      五，斐波那契数列数学溯源

为什么斐波那契数列在自然界中处处可见？从解二次多项式谈起。

1. 求系数为1的二次多项式的解

2. 黄金比率迭代公式连分式表达

将选代公式 (3) 式右边表达式代入(3) 式右边的 φ，得到下面连分式，再将其中φ 用(3)式右边表达式替换，依次类推，得到一列连分式：

3. 黄金比率的连分数表达

将(0)式中黄金比率的实数值代入上面各连分式的等式左边的φ ；将数字0代入连分式等式右边的φ 。于是得到黄金比率的一列近似值如下：

4. 黄金比率的最佳渐近分数

正因为黄金比率φ和Φ展成的连分数中，其整数部分分别是0和1，其余部位的数字都是1，它们对应的任意n阶渐近分数都是最佳渐近分数。其分子和分母又组成了斐波那契数列，自然界中的事物都追求最佳状态，最美好，最稳定。因此在自然界中斐波那契数列处处可见。

5. 黄金比率的根式表达

6. 黄金比率的真谛

不管黄金比率的连分数表达式，还是它的根式表达式，这两种不同的迭代方式所包含的数字只有1。因为生命就是迭代，而这种迭代又是最简单的。越简单的事物就越稳定。所以黃金比率便被自然界的生命所采纳。无数个实例可以证明。

这些公式便是黄金比率的灵魂，它们赋予自然界以生命，可以延续，可以遗传，以致无穷，像时间和宇宙那样。

六，谈方琳与斐波那契数列之缘

1. 谈方琳荣获奖项

(1) 14岁时

斐波那契数列是一个在数学和计算机科学中非常著名的数列，而贝祖数则是数学中的一个重要概念。

2018年，读初三的时候，14岁的谈方琳受邀参加了首届世界顶尖科学家青年论坛，在这个论坛上，谈方琳用流利的英语与各位科学家交流，分享自己的研究成果，展现了远超年龄的学术水平。

她凭借课题’斐波那契数列与贝祖数的估计”，在“第33届上海市青少年科技创新比赛”中，获得了一等奖和主席奖（初中生唯一奖项）。

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(2) 15岁时

此后，谈方琳继续深入研究更具挑战性的数学问题，并在15岁时再次解决了贝祖数的最佳上界和下界的估计问题，再次震惊了学术界。2019年又受邀出席了在中国上海召开第二届世界顶尖科学家大会。在会上谈方琳宣读了她证明的定理和推论，她把辗转相除法与斐波那契数列相结合，得到了任意两个正整数的贝祖数的最佳上界和最佳下界，辗转相除次数的最佳上界，及相应的斐波那契数的最佳上界。

她成为首位蝉联“最年轻科学家”称号的青年科学家。

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2. 未解问题源头

【贝祖定理】

如果 a 和 b 是两个整数，那么存在整数 x 和 y 使得

                 ax + by = d，

式中d 是 a 和 b 的最大公因子。

欧几里德算法可以求出两个正整数 a， b 的最大公因子 d。

在数论中，贝祖定理是关于线性不定方程的解的定理。

1733年，意大利数学家Lagny 首次利用斐波那契数列给出算法中所用除法次数的上界。经过众多人的努力，最终得到最佳估计。

扩展欧几里德算法还给出不定方程：

                    ax＋by＝d

给出一组特解 x0，y0，称

              ┃x0┃，┃y0┃

为a，b的贝祖数。

2013年，加拿大数学家 Rankin 在《美国数学月刊》上给出了贝祖数的第一个上界估计：

他的证明方法是对除法次数n 作归纳来证明，欧氏算法中 关于r1，r2 所用除法次数是nー1，利用两组数的贝祖数之间的关系和归纳假设可以証明不等式(1)，但式(1) 不是最佳的。

由于贝祖数是数学中的一个基本概念，给出贝祖数的最佳估计是一个非常有意义的问题。

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3. 谈方琳证明的定理

【定理】假定正整数 a，b，a＞b＞0。设通过n次辗转相除可以得到其最大公因子d，贝祖数为 ┃x0┃，┃y0┃。

利用斐波那契数列F(n)，我们得到了贝祖数的最佳上界估计，同时还得到贝祖数的最佳下界估计：

进一步得到通过辗转相除法时的所用除法次数 n 的最佳上界，也就是通过下面不等式(3) 右边的分数，用斐波那契数的通项公式，求出不超过该分数的最大斐波那契数，其在斐波那契数列的序数 n 即是辗转相除法时的所用除法次数 n 的最佳上界。

【推论】若 正整数 b＜F(m)，则对任何正整数 n，有

                         n ≤ m－2                     （4）

【注】注意这里的 n 是上面定理中的n，即通过辗转相除法来求任何正整数 a (a＞b) 和 b 的最大公因子 d 时所用的除法次数，正整数 n 就是任意的了。

由于斐波那契数列是递增数列，因此

                       n＋1＜m，n＜m－1，

注意，m 和 n 都是正整数，于是

                             n ≤ m－2

推论得证。

定理的结果为最佳的例子

设 a＝F(m)，b＝F(m－1)，

则a，b 满足上述定理条件，可通过n次辗转相除得到其最大公因子d，贝祖数的上下界满足(2) 式，把 a，b值代入(2) 式得

     F(n) ≤ F(m-1)/(2d)＋F(n-2)/2，

                                                             (2.1)

    F(n+1) ≤ F(m)/(2d)＋F(n-1)/2

                                                            (2.2)

特别取 n＝m－2，d＝1时，代入 (2.1)式的

右边

＝F(n+1)/2＋F(n-2)/2

＝F(n)/2＋F(n-1)/2＋F(n-2)/2

＝F(n)/2＋F(n)/2＝F(n)

＝左边

再把 n＝m－2，d＝1 代入(2.2)式的

右边

＝F(n+2)/2＋F(n-1)/2

＝F(n+1)/2＋F(n)/2＋F(n-1)/2

＝F(n+1)/2＋F(n+1)/2＝F(n+1)

＝左边

于是

┃x0┃＝F(n)，┃y0┃＝F(n+1)，

上面(2)、(3)、(4) 各式中的等号都成立。所以这些不等式都是最佳结果。

【例】若取 b＝2018 <2584 (右边的数为第18个斐波那契数，见下面附表)，则有

                           b＜F(18)

即滿足推论中的条件，则得

                      n ≤ 18－2＝16

这表明，最多用16次辗转相除的除法就可求出2018与任何正整数a (a＞2018) 的最大公因子。

      【附表】斐波那契数计算表

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