这部分内容属于多元函数微分学基础，是解决相关问题的理论、方法依据。在课程的期末考试、研究生招生考试和大学生数学竞赛中经常出现专门的考题。这部分重点探讨一下相关的基本概念和相关的计算方法，主要包括：二重极限、二元函数的连续性、偏导数；全微分；方向导数；梯度和多元函数导数的计算方法。其中极限是这些概念的基础，二元函数连续性、可微性的研究都是以二重极限为基础的，而累次极限、偏导数以及方向导数其实就是一元函数的极限问题；对于偏导数的计算，具体显函数偏导数的计算其实就是一元函数求导问题；其余偏导数的计算问题则都可以归结为多元复合函数求导问题，思路、步骤都基本一致。
一、二重极限
二重极限与一元函数的极限最大的区别是变量变化的方式的改变!一元函数极限变量变化的方式，或者路径只有两个，也就是左右两个方向，对应着左、右极限，函数的极限存在的充分必要条件是：左右极限存在并且相等。而二重极限变量 描述的点趋于 表示的点的方式，或者说路径，可以是任意的，可以是直线路径，也可以是曲线路径！只要趋向于定点的距离是越来越接近的、趋于 0 就行！并且要求点 不管按照何种方式趋于 ，极限都要存在，并且相等，二重极限才是存在的!
利用定义判定二重极限存在，经常用到它的其增量形式，而且一般通过改写转换为绝对值函数的极限等于 0 来讨论。这样可以通过放大，简化绝对值不等式，从而很容易的得到放大后表达式极限趋于 0 ，再基于夹逼准则得到极限存在的结论。当极限存在的时候，同样有将函数描述为极限值加上同一个变化过程的无穷小量的表达式，从而可以很好的解决一些包含有抽象函数极限结论的相关问题。具体结论和描述可以查看上面图中的表达式。
特别提醒一下: 判断二元函数 当 时的极限是否存在，基于函数变量符号描述的无关性，一般都可以转换为 来处理。
令 ，则有
所以，教材中给出的相关的结论与例题，一般都是基于自变量 来讨论的。
第二个要注意的地方，求 的极限式，有时候并不一定要求函数在原点的邻域内任意点都有定义，只要原点是聚点就可以了！也就是不管原点的去心邻域半径多么小，里面都有函数有定义的点。
-
如果点 沿着某条路径趋于原点 时， 的极限不存在，则函数 当 时极限不存在。
-
如果 沿着两条不同的路径趋于原点 时， 趋于不同的极限值，则函数 当 时极限也不存在。
这样的特殊路径一般取为经过原点的直线路径，常用的有:
(1) 坐标轴 ，当然也可以是坐标轴的正半轴或负半轴；
(2)一般经过原点的直线 ，其中 是任意非零常数，可以根据需要取值；
(3)抛物路径 ，其中 值根据具体函数表达式选取和式的值。当然也可以是其他的经过原点的曲线，比如正弦曲线等。
令 ，将二元函数的极限问题转换为形式上的单变量的极限问题
只对变量 变量求极限。对于这个单变量极限问题，要特别注意，虽然形式上求极限的变量只有一个，但是 可以取任意值，虽然求极限过程它是常量，但是它也是一个变化的量，它不仅是一个变化的量，它的变化还可以是按照 函数关系朝着某个固定值进行变化，当然 也可以按照某个 的变化过程变化。
如果这个极限不存在，也就是对于任意的 值，或者某个 值，当 时极限不存在，则二元函数的极限不存在。比如
如果这个极限关于 变量存在，但是结果为 的表达式，那么由 的任意性， 取不同值时，具有不同的极限值，所以极限也不存在。比如
并且注意一下，虽然最终表达式不包含 ，但是一般最好不把极限符号给去掉，因为在 变化的过程中，还可能包含 按照 的变化过程而变化，从而导致不同的极限值！
另外，如果在求极限过程中，关于 的极限式化简以后，分母中还含有 ，对于这样的表达式，有可能在 时，当 按照 的关于 的关系式，趋于使得分母趋于 0 的变化过程时 ，或者 按照 趋于某个定值的方式 ，让 趋于 0 的方式趋于 0 时，可能会得到不同的极限值，或者极限不存在。
如果 与 无关，直接的结论好像极限应该等于 0 。但是， 也可以是 的函数，通过 的变化转换为趋于 0 的过程。比如取
即 按照这个正弦曲线路径趋于 0 ，代入极限式，整理极限式得到极限式就为
则取 ，则
取 ，则
所以原极限不存在。
如果这个题目取特殊路径的话，可以直接取坐标轴路径的方式，得到极限等于 0 ，或者取抛物线 的方式来验证极限不存在!
以上是判定二重极限不存在的常用方法，而要验证二元函数极限存在，则通常使用定义法，一般是基于夹逼准则的绝对值放大的方法，即
或者借助于换元的方式，借助与一元函数相同的极限的运算法则来判定。
另外就是借助函数的连续性来判定并计算函数值，因为初等多元函数在定义区域内都是连续的，如果点 位于二元初等函数定义区域内，则极限不仅存在，而且就等于该点的函数值。
在已知极限存在，或者要求极限值的情况下，极坐标方法也不失为一种非常有效的求极限方法。因为用极坐标方法判定极限存在，一般就可以得到极限值。比如
其实，可以看到这个求极限的点 ，它是极限式中的函数
定义区域内的点，也就是函数的连续点，所以由函数连续的定义，极限值等于函数值，直接代入坐标点，得到函数值即为极限值。
对比而言，好像极坐标方法要复杂了。但是它最大的优势是将两个变量的求极限问题转换成了单变量的求极限问题。由于 的这种逼近过程，也就是距离，可以用极坐标中的 来体现，这样也就将相对复杂的二元函数求极限问题，转换为了熟悉的一元函数求极限问题，所以在求极限的问题中，极坐标方法也提供了一种相对有效的计算二元函数极限值的方法。只不过在没有确定极限存在的情况下，要注意在 的过程中，记得角度 是可以取任意值的。
二、二元函数连续性的判定与应用
对于函数连续性的讨论就是函数极限存在性的讨论，如果函数连续，不仅要求函数的极限存在，而且极限值要等于函数值。所以函数要连续，也就要求函数在 的某一邻域内有定义，而求极限只需要在去心邻域内有定义就可以了!
值得注意的是，对于多元初等函数，在它们的定义区域内函数都是连续的。所以在多元函数的定义区域内，求函数某点的极限值也就等于函数值。如果不是专门要求证明，这个结论在任何时候都可以直接使用。
另外，多元函数与一样函数一样，有闭区域上连续函数的相关结论，主要结论如下：
三、二元函数偏导数与偏导函数的连续性
对于具体的二元函数，由于通常讨论的二元函数一般都是初等多元函数，所以它们在定义区域内偏导数也都是存在的，并且在定义区域内的偏导数，可以直接使用一元函数求导的方法来计算，也就是对哪个变量求偏导数，另外的变量与符号都视为常数，然后使用一元函数的求导法则求导就行了。
对于分段的二元函数，在分段点、抽象函数的偏导数存在性的讨论，偏导数的计算，则一般使用二元函数偏导数定义，通过判定极限的存在性和求极限值来判定偏导数的存在性，与计算二元函数的偏导数:
对于这个定义式在使用的时候，与一元函数导数的定义式一样，要特别注意，偏导数的记号放置在等式的左边，和放置在右边条件其实是不相同的。放置在右边，一般是表示事先不知道函数偏导数存在，是由于极限存在，所以才有偏导数存在。而把偏导数的记号放置在左边，则表示已知了函数的偏导数存在，应用偏导数的定义，极限存在，并且可以借助这个极限式来讨论解决其它相关问题。
使用偏导数的定义讨论偏导数的存在性和求函数的偏导数，或者偏导函数，归根结底就是求关于变量 ，或 的一元函数的极限问题，并且极限式中的 ，对于求极限过程来说都是常数。
如果讨论的二元函数是初等函数，则由于它们的偏导数仍然是初等函数，所以在定义区域内偏导函数仍然是连续的。所以对于偏导函数连续性的讨论，也是分段函数的分段点位置处连续性的讨论。值得注意的是，如果高阶偏导数函数连续，则关于相同变量求偏导数是与求导次序无关的，也就是关于相同的多个变量的混合偏导数相等。
关于 变量的偏导函数的连续性，必须先要求出函数的偏导数函数。
特别要注意的是，分段函数的偏导数函数的分段点的偏导数，必须单独利用偏导数的定义计算；而分段点外定义区域内偏导数的计算，则一般直接使用一元函数求导的方法求偏导函数。
根据刚才的分析与讨论，函数 的偏导函数必须分为两个部分来求:
(1) 一个是在定义区域间内，直接利用一元函数求导数的方法计算。也就是当 时， 这个时候函数表达式中，仅仅 是变量， 是常数，所以利用一元函数求导的乘法法则，与复合函数求导的链式法则，可以计算得到它的导函数。
这是函数在定义区域内的偏导函数。
(2) 当 时，使用定义法来验证偏导数的存在性，并计算偏导数.
由此这个极限存在，所以可以判定函数在原点处的偏导数存在，由于极限值等于 0 ，所以关于 变量在原点处的偏导数等于 0 。因此，
函数关于 的偏导函数就是这样的一个分段函数。
所以要讨论关于 变量的偏导函数的连续性，就是讨论这个函数的连续性。也分为两个部分:
容易判定，当 时，第一项极限等于 0 ；第二项应用极坐标变换即为 ，故极限不存在。由此可知于 的偏导函数 在原点处不连续，而在其他点处连续。
四、全微分与可微性的判定
关于函数可微，有如下一些结论我们要熟悉：
可微必定连续，可微偏导数一定存在，也就是说，如果函数在一点不连续，或者偏导数不存在，则函数一定不可微的！不仅如此，函数可微时，直接有全微分的计算公式，也就等于各偏导数乘以对应自变量微分再求和的形式。值得注意的是：连续和偏导数存在仅仅是函数可微的必要条件。
除此之外，还有一个充分条件判定函数可微，如果函数在一点处的偏导函数连续，则函数在该点处可微。偏导数连续仅仅是充分条件，不是必要条件，也就是偏导数连续函数一定可微，但是可微，并不需要偏导数连续。
最后是全微分的定义，也可以说是充要条件，它也是判定函数可微的一个最常用的方法。
根据前面判定偏导数连续的方法，可以在求出函数的所有偏导函数来以后，通过判定函数所有偏导函数连续的方法来判定函数的可微性，这一个方法特别适用于多个点可微，或者某个定义域内可微的问题。而对于初等多元函数而言，在定义区域内都是可微的。所以一般不需要判定，更多的判定函数的分段点，或者某些点处函数的可微性，这个时候通常适用的方法是全微分的定义法。
通常判定一个函数在一点是否可微，可以按照如下步骤来完成:
（1）首先必须有函数在该点的偏导数存在，偏导数存在是函数可微的必要条件。如果函数在某点的关于某个变量的偏导数不存在，则可以直接判定函数在该点不可微。
（3）有了定点的偏导数的值，再判定在该点处以下极限是否趋于 0 ?
如果极限等于 0 ，则函数在点 处可微，如果极限不存在，或者极限虽然存在但是不等于 0 ，则可以断定函数在该点不可微。这个方法就是判定函数可微的定义法。
例 判断 在 处的可微性.
【参考解答】：由定义容易计算得到
且全增量 ，于是可得
所以函数 原点 处可微.
五、方向导数与梯度
方向导数与梯度是多元函数微分学的一个实际应用，其中方向导数研究了函数沿着一个指定的方向的变化率问题，定义为一个一元函数的极限。
定义中特别要注意的是极限式中的两个三角函数 ，注意一下，这和求极限的极坐标方法中的三角函数 不同，这里的是常数，是给定方向向量的方向余弦; 而极限的极坐标方法中的角度 是变化的!
梯度就是由多元函数按照变量的排列次序求得的导偏导数，按照变量排列次序排列得到的一个向量。注意，梯度是一个向量，是由函数的所有偏导数为元素的向量。它的计算就是求偏导数，它反映了函数变化最快的方向。
关于方向导数的计算以及方向导数与梯度的关系，有如下的一些结论:
当函数在一点可微的时候，则函数在该点不仅沿着任意方向的方向导数存在，而且有非常简单的计算公式，也就是函数关于各变量的偏导数，与方向向量关于对应变量对应的坐标的夹角的余弦的乘积之和。这个定理不仅给出了判定方向导数的方法，也给出了计算方法。
值得注意的是：函数可微仅仅是函数沿着各个方向方向导数存在的一个充分条件，也就是定理结论反过来不成立，即函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，函数不一定可微。
梯度的方向也是二元函数描述的等值线，三元函数描述的等值面的法线的方向向量。也就是二元函数 在 处的梯度向量也就是平面曲线 在 处的法线的一个方向向量；同样，三元函数 在 处的梯度向量也就是空间曲面 在 处的法线的一个方向向量.
根据以上的探讨，不难得出几个概念之间的相互关系：
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二元函数 在某点可微，可以推出函数在该点连续，并且函数的偏导数存在，如果加上方向导数存在性的讨论，则如果函数可微，函数在该点沿着任意方向的方向导数都存在。
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如果函数在某点的偏导数连续，则函数在该点可微，因此也就有函数偏导数存在，函数连续及沿着任意方向的方向导数存在。
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而函数连续，偏导数存在，沿着任意方向的方向导数存在，则不能推出这里列出的其他任何结论。
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但是偏导数存在可以推出函数沿着求导变量对应的坐标轴方向的方向导数存在；并且沿坐标轴正向方向导数值等于偏导数值，沿负向方向导数值等于偏导数的相反数.
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函数在某点处沿着任意方向的方向导数存在，函数在该点处不一定连续.
以上就是对多元函数微分法基本概念相关问题的探讨，主要是内容、思想、方法的回顾与总结，没有给出具体例题！具体实例的详细探讨，相关内容的进一步细化，问题求解思路的探索方法，我们可以查阅全国大学生数学竞赛真题解析在线课程，课程中针对这些问题，结合真题进行了详细的分析与探讨，课程讲解能够起到很好地打基础，提高综合应用能力的作用!课程内容的讲解，分析方式，不管是对于基础薄弱的同学，还是已经打好基础的同学，都有很好的参考、借鉴意义!
六、多元函数偏导数的计算方法
对于具体的，也就是给出了自变量具体函数表达式的多元显函数，比如二元函数
这样的 关于 ，或者 的偏导数的计算和一元函数导数计算的方法一样，这个就不做讨论了。这里主要探讨多元抽象的复合函数的偏导数的计算，与隐函数，即由多元方程，或者说包含多个变量的等式确定的函数的偏导数的计算。
这两类问题其实可以归结为一个问题，都是多元复合函数求导的问题。因为多元显函数其实也可以视为一个多元方程等式。只不过一侧只有一个次数为1 ，系数为 1 的函数变量而已。
两端分别关于最终自变量求导的问题。依据是：对一个等式两端同时关于同一个变量求导数，得到的两端的导数表达式仍然是相等的！
基于多元复合函数求导的链式法则，对于这类等式问题求导可以概括为如下几步:
第一步：确定变量符号哪个为最终函数符号，哪些为最终变量符号。对于函数符号，尤其要明确哪个是最终函数符号，其实这个比较好确定，从题目中要求的，或者需要的偏导数表达式，就可以直接看出来。比如要求 ，其中 z 就是函数符号， 就是最终变量符号；要求 ，则 w 是最终函数符号， 就是最终变量，至于问题中的其余的变量是当做函数，还是当做自变量，还需要根据条件，或者计算过程及结论来确定;
第二步：引入适当中间函数符号，写出复合过程。比如第三届全国大学生数学竞赛初赛中出现的偏导数的计算问题，函数表达式为
要对它求导，写它的复合过程的话，就可以通过引入中间函数符号
将它描述为 。
第三步：根据复合过程，绘制变量关系图。这是正确计算出复合函数导数的关键！对于由四则运算构成的表达式，一般先基于导数计算的四则运算法则，先四则运算，这样也就仅仅需要绘制那些，不能直接得到具体导数表达式，或者用最终函数符号关于最终变量符号，的导数描述的表达式的变量关系图。
比如第十二届全国大学生数学竞赛初赛中出现的偏导数的计算问题，函数表达式为
要对它关于 求导，就可以先由乘法法则，得
所以需要利用复合函数求导法则求导，或者说需要绘制变量关系图的表达式就是后面两个中括号里面的函数。
对于需要绘制变量关系图的表达式，绘制的基本原则：从描述表达式的函数符号，比如这里的 ，一直延续变量关系分支线，直到节点为最终变量的系数为 1 的，次数为 1 形式。绘制过程中，涉及的函数有几个变量，往下就有几条分支线。
有了变量关系图以后，然后依据多元复合函数求导的链式法则，就可以很顺利地写出从变量关系图的根节点，到目标的最终变量的末梢节点上各分支线上的导数表达式了。
第四步：依据多支偏导，单支全导，写出各分支线段上对应的导数项表达式。比如依据这两个变量关系图，也就可以得到各分支线上的导数表达式。由于这里仅仅关于最终变量 x求导，所以只要写出末梢节点为 的路径线段上的导数表达式就可以了。
分支线上求导的时候，要注意，上面的节点关于下面的节点表达式，或者变量求导的时候，同级的分支线端点的表达式，或者变量都是常数。比如 关于 求导的时候，同级的 就是常数；关于 求导的时候，同级的 就是常数。
另外，对于从上到下只有一条分支线时，则表示是上面的函数对下面的变量一元函数求导，对于这种情况一般不需要表明下标以说明对哪个变量，或者表达式求导，就表示函数把括号里面的表达式整体看成一个变量求导。所以这里的 和 就分别表示对 求导和对 求导，也就是对中间变量 求导。
第五步：依据分支相加、分段用乘写出关于最终变量求导的结果表达式。比如图中对应的两个关于 的偏导数结果就为
最后整理得到的求导表达式，得到最终需要的结果。
以上过程一般得到的是一阶导数的结果，如果需要求二阶导数，则可以重复以上步骤。在对包含有导函数符号的等式两端继续关于指定变量求导数的时候，其中要注意的是，一阶导函数表达式的复合结构，与原来的函数的复合结构是一样。因此，也具有相同的变量关系图。为了让这个复合结构更加明确，在有需要求二阶导数的情况下，一般将一阶导函数表达式写出完整的表达式。
如果需要对 继续求导数，比如要求 ，它的复合结构就和 一样，所以和 由相同的变量关系图，所以得到结果为
以上就是包含抽象多元复合函数求导的一般思路与步骤。结合简单的实例进行了分析，这种类型的问题不管是竞赛，还是考研，只要包含多元函数微分法的内容，一般都会有相关的偏导数计算问题出现。
对于具体的应用和更详细的分析与思路探索过程，可以查看 “全国大学生数学竞赛初赛真题解析” 在线课堂，除了刚才第十二届、第三届之外，在第二届、第九届等在线课程中也进行了详细的探讨！如果需要通过实际的例子来加深理解和提升印象的话，可以在在线课程课中直接查阅对应的视频片段就可以了。
基于复合函数求导的基本思路与步骤，不仅仅直接解决抽象复合函数的求导数问题，当然也适用于由方程确定的隐函数问题。不管是一个方程，还是多个方程，都可以采取等式两端关于同一个自变量求导的方法，来解得需要计算的一阶偏导数！同样，对等式两端同时求两次导数，也就可以得到二阶导数的关系，进而解得需要的结果。
比如上面是对一个方程两端同时关于 变量求导，解得一阶导数结果，然后对一阶导数的等式两端再关于 求导，得到包含二阶导函数的表达式，将一阶导数结果代入，则可以解得二阶导数结果。当然，也可以直接对求得的一阶导数，基于四则运算法则和复合函数求导的链式法则，直接求导来得到二阶导数结果。
下面则是对方程组两端同时关于同一个变量，这里就是关于 变量求导，从而可以解得两个关于 变量的一阶导数结果。当然，通过一阶导数结果也就可以求得二阶导数！
除了链式法则求复合函数的一阶导数之外，其实经常用到的还有一个方法: 全微分的形式不变性！即基于全微分的形式不变性和微分的运算法则，将出现在等式中的所有变量符号都视为独立的变量，两端同时求全微分，然后基于全微分的偏导数计算公式，通过比较结果表达式，一次性的得到函数关于所有自变量的偏导数结果。
比如第三届全国大学生数学竞赛初赛的第五题的第一问:
第五题: 设 是由方程
确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：
由全微分的形式不变性与微分的运算法则，对等式两端求全微分，得
于是由二元函数全微分公式
比较可得
如果仅仅是为了验证那个等式的话，只要令
代入表达式就可以了，直接就可以得到结果就是 .
对于隐函数求导的通常方法与全微分求导方法，在第十三届全国初赛的填空题的第 2 题的真题解析视频中，分两个视频片段，结合真题求解详细探讨了隐函数求导的一般思路，与基于全微分形式不变性的计算方法，如果希望有更深入、详尽的了解，可以直接通过在线课程查阅对应的视频就可以了。
这个基于全微分的形式不变性求偏导数的过程，不仅仅适用于隐函数求一阶偏导数，也适用于多元显函数 直接求偏导数，不仅适用于抽象函数，也适用于具体的函数。不仅适用于一个等式确定的函数，也适用于同时包含多个等式的问题。全微分的形式不变性一般适用于求一阶导数，对于高阶导数，一般是在一阶导数的基础上继续求导。
对于教材中基于这些方法推导出来的隐函数求导公式，一般不建议直接使用，因为公式一旦记错就完全错误，而且因为记错公式而导致的错误，很难检查出错误的原因! 一般使用推导公式的过程直接得到结果。
